Question

已知直線l過坐標原點，拋物線C頂點在原點，焦點在x軸正半軸上．若點A（-1，0）和點B（0，8）關于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線C的方程．

Answer 1

解：依題設拋物線C的方程可寫為
y²=2px（p＞0），
且x軸和y軸不是所求直線，又l過原點，因而可設l的方程為
y=kx（k≠0）．①
設A'、B'分別是A、B關于l的對稱點，因而A'A⊥l，直線A'A的方程為②
由①、②聯立解得AA'與l的交點M的坐標為．
又M為AA'的中點，從而點A'的坐標為
x_A'=，
y_A'=．③
同理得點B'的坐標為
x_B'=，y_B'=．④
又A'、B'均在拋物線y²=2px（p＞0）上，由③得，由此知k≠±1，
即⑤
同理由④得．
即．
從而=，
整理得k²-k-1=0．
解得
但當時，由③知，
這與A'在拋物線y²=2px（p＞0）上矛盾，故舍去．
設，則直線l的方程為．
將代入⑤，求得．
所以直線方程為．
拋物線方程為．
分析：先設出拋物線的標準方程和直線l的方程，根據A'、B'分別是A、B關于l的對稱點，進而可知A'A⊥l，進而可得直線A'A的方程，把兩直線方程聯立求得交點M的坐標，進而根據M為AA'的中點，求得A'點的坐標和B'的坐標，分別代入拋物線方程求得p的表達式，最后聯立求得k，進而求得p，則直線和拋物線的方程可得．
點評：本小題考查直線與拋物線的基本概念和性質，解析幾何的基本思想方法以及綜合運用知識解決問題的能力．