Question

已知過點(0，1)的直線l與曲線C：交于兩個不同點M和N。求曲線C在點M、N處切線的交點軌跡。

Answer 1

點P的軌跡為(2，2)，(2，2.5)兩點間的線段（不含端點）。

解析:

設點M、N的坐標分別為(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，曲線C在點M、N處的切線分別為l₁、l₂，其交點P的坐標為(x_p，y_p)。若直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1。

由方程組，消去y，得，即(k??1)x²+x??1=0。由題意知，該方程在(0，+∞)上有兩個相異的實根x₁、x₂，故k≠1，且Δ=1+4(k??1)>0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。對求導，得，則，，于是直線l₁的方程為，

即，化簡后得到直線l₁的方程為…(4)。同理可求得直線l₂的方程為…(5)。(4)??(5)得，因為x₁≠x₂，故有…(6)。將(2)(3)兩式代入(6)式得x_p=2。(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得2y_p=(3??2k)x_p+2，而x_p=2，得y_p=4??2k。又由得，即點P的軌跡為(2，2)，(2，2.5)兩點間的線段（不含端點）。