Question

已知二次函數y=f₁(x)的圖象以原點為頂點且過（1，1）點，反比例函數y=f₂(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間的距離為8，f(x)=f₁(x)+f₂(x)

（1）求函數f(x)的表達式；

（2）證明：當a＞3時，關于x的方程f(x)=f(a)有三個實數解；

Answer 1

解：（1）由已知，設f₁(x)=ax²,由f₁(1)=1得a=1，∴f₁(x)=x²,設f₂(x)=(k＞0)，它的圖象與直線y=x的交點分別為A(,),B(-,-)，

    由|AB|=8得k=8,∴f₂(x)=.

    故f(x)=x²+.

（2）由f(x)=f(a)得x²+=a²+,

    而(x-a)(x+a-)=0,方程一個解為x₁=a,方程x+a-=0化為

ax²+a²x-8=0,由a＞3知Δ＞0

∴x₂=,

x₃=.

∵x₂＜0,x₃＞0,x₁≠x₂,且x₂≠x₃,

x₁=x₃時可得a⁴=4a.

∴a=0或a=.

    這與a＞3矛盾，∴x₁≠x₃.

    故原方程有三個實數解.