Question

對于給定數列{c_n}，如果存在實常數p、q，使得c_n+1＝pc_n＋q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數列{c_n}是“k類數列”．

(Ⅰ)若a_n＝2n，b_n＝3·2ⁿ，n∈N^*，數列{a_n}、{b_n}是否為“k類數列”？若是，指出它對應的實常數p、q，若不是，請說明理由；

(Ⅱ)證明：若數列{a_n}是“k類數列”，則數列{a_n＋a_n+1}也是“k類數列”；

(Ⅲ)若數列{a_n}滿足a₁＝2，a_n＋a_n+1＝3t·2ⁿ(n∈N^*)，t為常數．求數列{a_n}前2012項的和．并判斷{a_n}是否為“k類數列”，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因為則有 　　故數列是“類數列”，對應的實常數分別為；1分 　　因為，則有，． 　　故數列是“類數列”，對應的實常數分別為；3分 　　(Ⅱ)證明：若數列是“類數列”，則存在實常數， 　　使得對于任意都成立， 　　且有對于任意都成立， 　　因此對于任意都成立， 　　故數列也是“類數列”． 　　對應的實常數分別為．6分 　　(Ⅲ)因為則有，， 　　故數列前2012項的和 　　＋＋＋ 　　；9分 　　若數列是“類數列”，則存在實常數 　　使得對于任意都成立， 　　且有對于任意都成立， 　　因此對于任意都成立， 　　而，且， 　　則有對于任意都成立，可以得到 　　， 　　當時，，，，經檢驗滿足條件． 　　當時，，，經檢驗滿足條件． 　　因此當且僅當或時，數列是“類數列”． 　　對應的實常數分別為或；13分