Question

（2012•山東）已知向量

m

=（sinx，1），

n

=（

3

Acosx，

A

2

cos2x）（A＞0），函數(shù)f（x）=

m

•

n

的最大值為6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移

π

12

個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積展開(kāi)，通過(guò)二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為，一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)最大值求A；
（Ⅱ）通過(guò)將函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移

π

12

個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求出g（x）的表達(dá)式，通過(guò)x∈[0，

5π

24

]求出函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

m

•

n

=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x
=A（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=Asin（2x+

π

6

）．
因?yàn)锳＞0，由題意可知A=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+

π

6

）．
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位后得到，
y=6sin[2（x+

π

12

）+

π

6

]=6sin（2x+

π

3

）．的圖象．再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍，
縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=6sin（4x+

π

3

）的圖象．因此g（x）=6sin（4x+

π

3

）．
因?yàn)閤∈[0，

5π

24

]，所以4x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

6

]，4x+

π

3

=

π

2

時(shí)取得最大值6，4x+

π

3

=

7π

6

時(shí)函數(shù)取得最小值-3．
故g（x）在[0，

5π

24

]上的值域?yàn)閇-3，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查計(jì)算能力．