Question

1．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，$0＜φ＜\frac{π}{2}$）的周期為π，且圖象上一個最低點為$M（{\frac{2π}{3}\;，\;\;-2}）$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{12}}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數的周期，最值過定點，求出A，ω和φ的值即可，
（Ⅱ）結合三角函數的單調性進行求解即可．
（Ⅲ）求出角的范圍結合三角函數的單調性求出函數的最值即可求出函數的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函數的最小正周期為π，最小值為-2，
∴A=2，T=$\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，
則函數f（x）=2sin（2x+φ），
∵圖象上一個最低點為$M（{\frac{2π}{3}\;，\;\;-2}）$．
∴2sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=-2，
即sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，
則$\frac{4π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
則φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵$0＜φ＜\frac{π}{2}$，
∴當k=0時，φ=$\frac{π}{6}$，
即f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函數的單調遞減區間為為$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即函數的單調遞增區間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（Ⅲ）當$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{12}}]$時，2x∈[0，$\frac{π}{6}$]，
則2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
則sin（2x+$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則$\frac{1}{2}×2$≤f（x）≤2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即1≤f（x）≤$\sqrt{3}$，
即f（x）的值域為[1，$\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查三角函數解析式的求解以及函數單調性和值域的求解，結合條件求出A，ω和φ的值是解決本題的關鍵．