Question

已知函數f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x，a∈R
（Ⅰ）若a=1，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）討論函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，求出f′（x），然后解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函數的增區間、減區間；
（Ⅱ）f′(x)=3(x+

a+2

3

)(x-a)，按照-

a+2

3

=a，-

a+2

3

＜a，-

a+2

3

＞a三種情況進行討論：由導數符號可求得極值；

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f'（x）＞0得x＜-1或x＞1，令f'（x）＜0得-1＜x＜1，
所以函數的單調增區間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調減區間為（-1，1）．
（Ⅱ）f′(x)=3(x+

a+2

3

)(x-a)，
①當-

a+2

3

=a即a=-

1

2

時，f′（x）=3（x-a）²≥0，f（x）遞增，此時函數無極值；
②當-

a+2

3

＜a即a＞-

1

2

時，由f′（x）＞0得x＜-

a+2

3

或x＞a，由f′（x）＜0得-

a+2

3

＜x＜a，
所以當x=-

a+2

3

時，f（x）取得極大值為f(-

a+2

3

)=

(a+2)2(1+5a)

27

；
當x=a時，f（x）取得極小值為f（a）=-a²（a+1）．
③當-

a+2

3

＞a即，
a＜-12時，由f′（x）＞0得x＜a或x＞-

a+2

3

，由f′（x）＜0得a＜x＜-

a+2

3

，
所以當x=-

a+2

3

時，f（x）取得極小值為f(-

a+2

3

)=

(a+2)2(1+5a)

27

；
當x=a時，f（x）取得極大值為f（a）=-a²（a+1）．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、單調性，考查含參數二次不等式的求解，考查分類討論思想，正確理解導數與極值的關系是解決問題的基礎．