Question

已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，數列{a_n} （n∈N^*）的各項都是整數，其前n項和S_n．若點（a_2n-1，a_2n）在函數y=f（x）或y=g（x）的圖象上，且當n為偶數時，an=

n

2

，則S₈₀=820．

Answer 1

分析：由f（x）=2x-1，g（x）=-2x，點（a_2n-1，a_2n）在函數y=f（x）或y=g（x）的圖象上，知a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，當a_2n=2a_2n-1-1時，a_2n-1=2（a_2n-1-1），由數列{a_n} （n∈N^*）的各項都是整數，且當n為偶數時，an=

n

2

，知a2n-1=

n+1

2

，a2n=

2n

2

=n，由此能夠求出S₈₀．

解答：解：∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，
點（a_2n-1，a_2n）在函數y=f（x）或y=g（x）的圖象上，
∴a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，
∵當n為偶數時，an=

n

2

，
∴當a_2n=2a_2n-1-1時，2a_2n-1=a_2n+1=n+1，
∴a2n-1=

n+1

2

，
令n=2k-1，k∈N^*，則a_4k-3=

2k-1+1

2

=k，即a₁，a₅，a₉，…，成首項為1，公差為1的等差數列；
當a_2n=-2a_2n-1時，a_2n-1=-

n

2

，
所以n為偶數時，a_2n-1=-

n

2

，
令n=2k′，k′∈N^*，則a_4k′-1=-

2k′

2

=-k′，即a₃，a₇，a₁₁，…，成首項為-1，公差為-1的等差數列；
所以S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）=

2n（1+2n）

2

=2n²+n．
∴S₈₀=2×20²+20=820．
故答案為：820．

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．