Question

有2名老師，3名男生，4名女生照相留念，在下列情況中，各有多少種不同站法？（寫出過程，最后結果用數字表示）
（1）男生必須站在一起；
（2）女生不能相鄰；
（3）若4名女生身高都不等，從左到右女生必須由高到矮的順序站；
（4）老師不站兩端，男生必須站中間．

Answer 1

解：（1）男生必須相鄰而站，把三個女生看做一個元素，
則共有7個元素進行全排列，
再乘以還有女生內部的一個排列
共有A₇⁷•A₃³=30240…（3分）
（2）女生互不相鄰，應采用女生插空法，
首先要老師和男生先排列，形成6個空，
再在這6個空中選4個排列女生．
根據乘法原理得到共有A₅⁵•A₆⁴=43200…（3分）
（3）若4名女生身高都不等，從左到右女生必須由高到矮的順序站，
則女生的順序只有一個，可以看做在9個位置上排列教師和男生就可以，
共有A₉⁵=15120…（3分）
（4）老師不站兩端，男生必須站中間
則中間的三個位置排列三個男生有A₃³種結果，
在去掉兩端的四個位置上選兩個位置排列兩名教師有A₄²種結果，
余下的四個位置把四名女生全排列，共有A₄⁴種結果，
根據分步計數原理得到共有A₄²•A₄⁴•A₃³=1728…（4分）
分析：（1）男生必須相鄰而站，把三個女生看做一個元素，則共有7個元素進行全排列，再乘以還有女生內部的一個排列．
（2）女生互不相鄰，應采用女生插空法，首先要老師和男生先排列，形成6個空，再在這6個空中選4個排列女生．
（3）若4名女生身高都不等，從左到右女生必須由高到矮的順序站，則女生的順序只有一個，可以看做在9個位置上排列教師和男生就可以得到結果．
（4）中間的三個位置排列三個男生有A₃³種結果，在去掉兩端的四個位置上選兩個位置排列兩名教師有A₄²種結果，余下的四個位置把四名女生全排列，共有A₄⁴種結果，相乘得到結果．
點評：本題考查站隊問題，這是排列組合中的典型問題，要先排限制條件多的元素，把排列問題包含在實際問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，把實際問題轉化為數學問題，本題是一個中檔題目．