Question

已知數列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1．
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并推測a_n的表達式；
（2）用數學歸納法證明所得的結論．

Answer 1

分析：（1）取n=1，2，3，分別求出a₁，a₂，a₃，然后仔細觀察，總結規律，猜測a_n的值．
（2）用數學歸納法進行證明，①當n=1時，命題成立；②假設n=k時，命題成立，即a_k=2-

1

2k

，當n=k+1時，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+1=2（k+1）+1，a_k+1=2-

1

2k+1

，當n=k+1時，命題成立．故a_n=2-

1

2n

都成立．

解答：解：（1）a₁=

3

2

，a₂=

7

4

，a₃=

15

8

，
猜測a_n=2-

1

2n

（2）①由（1）已得當n=1時，命題成立；
②假設n=k時，命題成立，即a_k=2-

1

2k

，
當n=k+1時，a₁+a₂+…+a_k+2a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2a_k+1=2+2-

1

2k

，即a_k+1=2-

1

2k+1

，
即當n=k+1時，命題成立．
根據①②得n∈N⁺，a_n=2-

1

2n

都成立．

點評：本題考查數列的遞推式，解題時注意數學歸納法的證明過程．