Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，且左焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（I）求橢圓的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交直線(xiàn)x=-4于點(diǎn)D，點(diǎn)C分所成比為λ，點(diǎn)D分所成比為μ，求λ+μ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)左焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．可求得a和b，c的關(guān)系，根據(jù)右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離可求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求得a和b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線(xiàn)l的方程，設(shè)A，B，D的坐標(biāo)，把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，根據(jù)把A，B坐標(biāo)代入求得同理可求得，進(jìn)而可求得λ+μ的值．
解答：解：（Ⅰ）由條件得解得，
所以橢圓方程是．
（Ⅱ）易知直線(xiàn)l斜率k存在，則直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（-4，y）
由得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0且△=48k²+16＞0
∵，∴（-1-x₁，-y₁）=λ（x₂+1，y₂）
∴
∵，∴（-4-x₁，-y₁）=μ（x₂+4，y₂-y）
∴
∴
∵
∴
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．解題過(guò)程中充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化．