Question

求證：(1)平行六面體的各對角線交于一點，并且在這一點互相平分；

(2)對角線相等的平行六面體是長方體．

(1)已知：平行六面體AC₁；

求證：AC₁、BD₁、CA₁、DB₁交于一點且互相平分．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵AA1BB1，BB1CC1， ∴AA1CC1． ∴AA1C1C是平行四邊形． ∴CA1與AC1相交，且互相平分． 設交點為O，即CA1過AC1的中點O． 同理可證BD1與AC1、DB1與AC1也相交，且互相平分，交點也是O． ∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一點，且互相平分． (2)已知：平行六面體AC1，對角線A1C、B1D、C1A、D1B相等； 求證：平行六面體AC1是長方體． 證明：∵平行六面體AC1的對角面A1C1CA、B1D1DB都是平行四邊形，且它們的對角線A1C、B1D、C1A、D1B都相等， ∴對角面A1C1CA、B1D1DB都是矩形． 由此可得CC1⊥A1C1，BB1⊥B1D1． 又BB1∥CC1，∴BB1⊥A1C1， ∴BB1⊥平面A1C1， ∴平行六面體A1C是直平行六面體． 同理可證CB⊥平面A1B，則BC⊥AB． ∴平行四邊形ABCD是矩形． ∴直平行六面體AC1是長方體． 點評：證明平行六面體對角線互相平分就是證O是各對角線的中點．當平行六面體的對角線相等時，平行六面體即為長方體．