Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣ ．
（1）利用定義證明：函數f（x）在區間（0，+∞）上為增函數；
（2）當x∈（0，1）時，tf（2x）≥2x﹣1恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）= ，

∵0＜x1＜x2，∴1+x1x2＞0，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，

∴ ＜0，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴函數f（x）在區間（0，+∞）上為增函數

（2）解：∵t（2x﹣ ）≥2x﹣1，

∴ ≥2x﹣1

∵x∈（0，1]，∴1＜2x≤2，

∴t≥ 恒成立，設g（x）= =1﹣ ，

顯然g（x）在 （0，1]上為增函數，

g（x）的最大值為g（1）= ，故t的取值范圍是[ ，+∞）

【解析】1、由定義法證明函數的單調性。
2、根據指數函數的單調性可得當x∈（0，1]，∴1＜2x≤2 ,恒成立,設g（x）在 （0，1]上為增函數，g（x）的最大值為g（1）= .t的取值范圍是[ ，+∞）
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．