Question

如圖為一多面體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，CE∥DP，且PD=2CE．
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）若N為線段PB的中點，求證：EN⊥平面PDB；
（3）若PD=

2

AD，求平面PBE與平面ABCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PD中點F，證明四邊形EFAB為平行四邊形，可得BE∥AF，利用線面平行的判定可得BE∥平面PDA；
（2）設(shè)AC∩BD=O，證明CO∥EN，C0⊥平面PDB，即可得到NE⊥平面PDB；
（3）設(shè)平面PBE與平面ABCD所夾角為α，利用cosα=

S△BDC

S△PBE

即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：取PD中點F，則FD∥EC，F(xiàn)D=EC

∴四邊形EFDC為長方形
∴EF∥CD∥AB
∴四邊形EFAB為平行四邊形
∴BE∥AF
∵BE?面PDA，AF?面PDA
∴BE∥平面PDA；
（2）證明：設(shè)AC∩BD=O，則NO∥CE，NO=CE
∴四邊形NOCE為長方形，∴CO∥EN
∵PD⊥面ABCD，∴CO?面ABCD
∴PD⊥CO，
∵CO⊥BD，PD∩BD=D
∴C0⊥平面PDB
∴NE⊥平面PDB；
（3）解：設(shè)平面PBE與平面ABCD所夾角為α
∵PD⊥平面ABCD于D，CE⊥平面ABCD于C，∴cosα=

S△BDC

S△PBE

在△PBE中，PB=2a，BE=

6

2

a，PE=

6

2

a，
∴S_△PBE=

1

2

•PB•EN=

1

2

•2a•

( 6 2 a)2-a2

=

2

2

a2
∵S_△BDC=

a2

2

，
∴cosα=

a2 2

2 2 a2

=

2

2

點評：本題考查線面平行，線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．