Question

過點A（2，1）作曲線f（x）=

2x-3

的切線l．
（Ⅰ）求切線l的方程；
（Ⅱ）求切線l，x軸及曲線所圍成的封閉圖形的面積S．

Answer 1

分析：（I）欲求在點（2，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）欲求封閉圖形的面積，利用定積分的幾何意義求面積，由（I）知在點A處的切線方程，只須求出積分的上下限即可，故先利用令f(x)=

2x-3

=0和令y=x-1=0，再結合圖象特征即得，最后定積分公式計算即得．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

2x-3

，∴f'（2）=1，
∴切線l的方程為y-1=x-2，即y=x-1．（4分）
（Ⅱ）令f(x)=

2x-3

=0，則x=

3

2

．令y=x-1=0，則x=1．
∴A=

∫

2 1

(x-1)dx-

∫

2 3 2

2x-3

dx=(

1

2

x2-x)

.

2 1

-

1

3

(2x-3)

3

2

.

2 3 2

=

1

6

．（10分）
故封閉圖形的面積S=

1

6

．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、定積分的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．