Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
（1）設b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列；
（2）在（1）的條件下證明數列{

an

2n

}是等差數列，并求a_n．

Answer 1

分析：（1）因為S_n+1=4a_n+2，所以S_n=4a_n-1+2，（n≥2）．兩式相減得出a_n+1=4（a_n-a_n-1），a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），易證b_n=a_n+1-2a_n，數列{b_n}是等比數列．
（2）根據（1）{b_n}是等比數列，可得{b_n}的通項公式，從而證得數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列，通過數列{

an

2n

}的通項公式求出數列{a_n}的通項公式

解答：解：（1）因為S_n+1=4a_n+2，所以S_n=4a_n-1+2，（n≥2）．兩式相減得出a_n+1=4（a_n-a_n-1），a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又∵b_n=a_n+1-2a_n∴b_n=2b_n-1
S₂=4a₁+2，a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1，所以a₂=5，
b₁=a₂-2a₁=5-2×1=3，
∴{b_n}是首項b₁=3，公比等于2的等比數列．
（2）由（1）可得b_n=3•2^n-1，∴a_n+1-2a_n=3•2^n-1，兩邊同除以2ⁿ⁺¹
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，所以∴數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列，

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

3

4

=

3n-1

4

，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2．

點評：此題主要考查了等比數列的判斷，通項公式求解．考查轉化構造，運算求解能力．