Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面CDB₁的距離；
（Ⅲ）求二面角B-B₁C-D的大小．

Answer 1

分析：以C為原點(diǎn)，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
（Ⅰ）求出

DE

，

AC1

，

DE

=

1

2

AC1

，推出DE∥AC₁．從而證明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）點(diǎn)B到平面CDB₁的距離為h．通過(guò)VB1-BCD=VB-B1CD 轉(zhuǎn)化S△BCD•B1B=S△B1CD•h，求點(diǎn)B到平面CDB₁的距離；
（Ⅲ）在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥B₁C于點(diǎn)G，連接DG，說(shuō)明∠DGF是二面角B-B₁C-D的平面角，求出與公式cos?

GF

，

GD

＞=

GF • GD

| GF || GD |

相關(guān)向量，計(jì)算，求二面角B-B₁C-D的大小．

解答：解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC₁兩兩垂直
如圖，以C為原點(diǎn)，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），D（1，1，0）．
（Ⅰ）證明：
設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，則E（0，1，1）．
∵

DE

=(-1，0，1)，

AC1

=(-2，0，2)，∴

DE

=

1

2

AC1

，∴DE∥AC₁…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁（4分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B到平面CDB₁的距離為h．
在三棱錐B₁-BCD中，
∵VB1-BCD=VB-B1CD，且B₁B⊥平面BCD，
∴S△BCD•B1B=S△B1CD•h（6分）
易求得S△BCD=1，S△B1CD=

1

2

CD•B1D=

3

，
∴h=

S△BCD•B1B

S△B1CD

=

2 3

3

．
即點(diǎn)B到平面CDB₁的距離是

2 3

3

．．（9分）
（Ⅲ）在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥B₁C于點(diǎn)G，連接DG．
易證明DF⊥平面BCC₁B₁，從而GF是DG在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影，
根據(jù)三垂線定理得B₁C⊥GD．
∴∠DGF是二面角B-B₁C-D的平面角（12分）
易知F(0，1，0)，G(0，

1

2

，

1

2

)，
∵

GF

=(0，

1

2

，-

1

2

)，

GD

=(1，

1

2

，-

1

2

)，
∴cos?

GF

，

GD

＞=

GF • GD

| GF || GD |

=

3

3

．
∴二面角B-B₁C-D的大小是arccos

3

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面平行的判定，用空間向量求平面間的夾角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．