Question

已知a、b、c、d∈（0，1）．試比較abcd與a+b+c+d-3的大小，并給出你的證明．

Answer 1

分析：先考慮一個簡單的問題，比較ab與a+b-1的大小，事實上，∵ab-（a+b-1）=ab-a-b+1=（a-1）（b-1）＞0，∴ab＞a+b-1．這一探索過程有兩方面的作用，一是在方法上是否有借鑒作用，即能否將abcd-（a+b+c+d-1）也類似地進行因式分解呢？經過試探，回答是否定的；二是這個結論可以作為我們繼續探索的工具．

解答：解：下面我們來比較abc與a+b+c-2的大小．
∵0＜ab＜1，∴abc=（ab）c＞ab+c-1＞a+b-1+c-1=a+b+c-2，
更進一步，則有abcd=（abc）d＞abc+d-1＞a+b+c+d-3．
∴得證．

點評：對于一個聰明的解題者來說，先考慮問題的簡單情形，從容易解決的情況入手，然后再逐步推廣到一般的情形，常常會收到意想不到的效果，本例的一般性推廣是：若a_i∈（0，1），i=1，2，，n，（n≥2，n∈N₊），則有：a₁a₂••a_n＞a₁+a₂++a_n-n+1．