Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線分別為l₁，l₂，右焦點為F，若在右支上存在一點P，使得P到l₁的距離d₁、

3

2

|PF|、P到l₂的距離d₂依次成等比數列，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A、[

  2

  ，2]
• B、(1，

  2

  ]
• C、(1，

  2

  )
• D、（1，2]

Answer 1

分析：求出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線方程，可求d₁=

|bx+ay|

b2+a2

，d₂=

|bx-ay|

b2+a2

，利用P到l₁的距離d₁、

3

2

|PF|、P到l₂的距離d₂依次成等比數列，可得

3

4

|PF|2=

a2b2

c2

，結合|PF|≥c-a，即可得出結論．

解答：解：設P（x，y）（x≥a），則
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線分別為bx+ay=0，bx-ay=0，
∴d₁=

|bx+ay|

b2+a2

，d₂=

|bx-ay|

b2+a2

，
∴d₁d₂=

|bx+ay|

b2+a2

•

|bx-ay|

b2+a2

=

b2x2-a2y2

c2

=

a2b2

c2

，
∵P到l₁的距離d₁、

3

2

|PF|、P到l₂的距離d₂依次成等比數列，
∴

3

4

|PF|2=

a2b2

c2

，
∴|PF|2=

4a2b2

3c2

∵|PF|≥c-a，
∴

4a2b2

3c2

≥(c-a)2，
∴4a²（c²-a²）≥3c²（c-a）²，
∴3e³-e-2≤0，
∵e＞1，
∴1＜e≤2．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的離心率，考查等比數列的性質，考查學生的計算能力，難度大．