Question

（理科做）過點(diǎn)A（6，1）作直線?與雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1相交于兩點(diǎn)B、C，且A為線段BC的中點(diǎn)，求直線?的方程．

Answer 1

分析：依題意，記B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），可設(shè)直線l的方程為y=k（x-6）+1，代入雙曲線方程，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理得出x₁+x₂=

8k(1-6k)

1-4k2

，然后根據(jù)由A（6，1）是BC的中點(diǎn)得

1

2

(x1+x2) =6從而求出斜率k，即可求出方程．

解答：解：依題意，記B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
可設(shè)直線l的方程為y=k（x-6）+1，
代入

x2

16

-

y2

4

=1，整理得（1-4k²）x²-8k（1-6k）x+48k-144k²-20=0①
x₁，x₂則是方程①的兩個(gè)不同的根，
所以1-4k²≠0，且x₁+x₂=

8k(1-6k)

1-4k2

，
由A（6，1）是BC的中點(diǎn)得

1

2

(x1+x2) =6，
∴4k（1-6k）=6（1-4k²），
解得k=

3

2

，
所以直線AB的方程為3x-2y-16=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的綜合運(yùn)用以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解題的關(guān)鍵是將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立并化簡，屬于中檔題．