Question

【題目】函數 ．
（1）求函數 的最大值；
（2）對于任意 ，且 ，是否存在實數 ，使 恒成立，若存在求出 的范圍，若不存在，說明理由；
（3）若正項數列 滿足 ，且數列 的前 項和為 ，試判斷 與 的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解： ,
則 ，
所以 函數單調遞減， 函數單調遞增．
從而
（2）解：若 恒成立，
則 ，
設函數 ，又 ，
則只需函數 在 上為單調遞減函數，
即 在 上恒成立，
則 ，
記 ，則 ，從而 在 上單調遞減，在 單調遞增，
故 ，
則存在 ，使得不等式恒成立
（3）解：由 ．
即 ，由 ，得 ，
因為 ，由（1）知 時， ，
故 ，
即
【解析】(1)首先求出函數的定義域以及導函數，根據導數符號即可求出原函數的單調性即可求出最大值。(2)根據題意結合函數的單調性和其導函數的關系，即可得到 φ ′ ( x ) ≤ 0 恒成立，分離出參數m后化為求函數最值即可并利用導數求得函數的最值。(3)整理數列的代數式求出數列 { an}的通項公式根據題意代入即可得到 a n> ln ( an + 1 )，進而得到Sn的表達式結合對數的性質由裂項相消法即可得出結果。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．