Question

若數列{a_n}滿足

1

an+1

-

1

an

=d，（n∈N^*，d為常數），則稱數列{a_n}為調和數列．已知數列{

1

xn

}為調和數列，且x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=200，則x₁+x₂₀=

 

；x₃x₁₈的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：根據題意可得x_n+1-x_n=d=常數，所以數列{x_n}是等差數列．利用等差數列的性質可得：x₁+x₂₀=20，所以20=x₃+x₁₈再利用基本不等式可得x₃x₁₈≤100．

解答：解：因為數列{

1

xn

}為調和數列，
所以結合調和數列的定義可得：x_n+1-x_n=d=常數，
所以數列{x_n}是等差數列．
因為x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=200，
所以結合等差數列的性質可得：x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=10（x₁+x₂₀）=200，
所以x₁+x₂₀=20，
所以20=x₃+x₁₈≥2

x3x18

，即x₃x₁₈≤100．
故答案為20，100．

點評：本題主要考查等差數列的定義與性質，以及利用基本不等式求最值．