Question

已知數列{a_n}滿足S_n=，S_n是{a_n}的前n項的和，a₂=1．
（1）求S_n；（2）證明：

Answer 1

【答案】分析：（1）易得遞推關系，從而求通項與和
（2）通常與二項式定理有關，需用放縮法求和，而放縮法主要是放縮成特殊的等比類型．
解答：解：（1）由題意S_n=，
兩式相減得2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n即（n-1）a_n+1=na_n，
所以（n+1）a_n+1=n_an+2再相加得2na_n+1=na_n+na_n+2即2a_n+1=a_n+a_n+2
所以數列{a_n}是等差數列（4分）
∵a₁=∴a₁=0，
又a₂=1，則公差為1，∴a_n=n-1，
所以數列{a_n}的前n項的和為S_n=，（6分）
（2）（1+（8分）
①當n=1時：（1+=，，不等式成立．（7分）
②當n≥2時：一方面
∵（9分）
另一方面：
∴（1+，
綜合兩方面∴
于是對于正整數n，都有（12分）
點評：通過本題，學生要掌握常用的放縮技巧和結論．放縮的目的是便于求和，放縮后的數列一般是等差或等比，另外就是放縮的“度”