Question

已知a，b為不相等的正數(shù)，且a³－b³＝a²－b²．

求證：1＜a＋b＜．

Answer 1

答案：
解析：

證明：先證a＋b＞1． 　　因?yàn)閍，b為不相等的正數(shù)，所以a－b≠0．由已知a3－b3＝a2－b2，所以a2＋ab＋b2＝a＋b．所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b．故a＋b＞1． 　　再證a＋b＜． 　　只需證：3(a＋b)＜4，只需證：3(a＋b)2＜4(a＋b)＝4(a2＋ab＋b2)，只需證：a2－2ab＋b2＞0，因?yàn)閍≠b，所以(a－b)2＞0恒成立．所以a＋b＜，故命題得證．