Question

是否存在正整數m，使得f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9對任意自然數n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：我們將n=1，2，3，4依次代入，計算相應的f（n）的值，由此不難得到滿足條件的m值，然后再根據數學歸納法對結論進行證明．
解答：解：由f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，顯然成立．
（2）假設n=k時，f（k）能被36整除，
即f（k）=（2k+7）•3^k+9能被36整除；
當n=k+1時，[2（k+1）+7]•3^k+1+9=3[（2k+7）•3^k+9]+18（3^k-1-1），
由于3^k-1-1是2的倍數，故18（3^k-1-1）能被36整除．
這就是說，當n=k+1時，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知對一切正整數n都有f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9能被36整除，m的最大值為36．
點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．