Question

已知數列{x_n}和{y_n}的通項公式分別為xn=an和yn=(a+1)n+b，n∈N+．
（1）當a=3，b=5時，
①試問：x₂，x₄分別是數列{y_n}中的第幾項？
②記cn=xn2，若c_k是{y_n}中的第m項（k，m∈N⁺），試問：c_k+1是數列{y_n}中的第幾項？請說明理由；
（2）對給定自然數a≥2，試問是否存在b∈{1，2}，使得數列{x_n}和{y_n}有公共項？若存在，求出b的值及相應的公共項組成的數列{z_n}，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件可得xn=3n，y_n=4n+5．①令x₂=9=y_m=4m+5，得m=1，令x₄=81=y_k=4k+5，得k=19，由此能得到x₂，x₄分別是數列{y_n}中的第幾項．②由題意知，cn=32n，由c_k為數列{y_n}中的第m項，則有3^2k=4m+5，由此得到c_k+1是數列{y_n}中的第9m+10項．
（2）設在{1，2}上存在實數b使得數列{x_n}和{y_n}有公共項，所以t=

as-b

a+1

，因自然數a≥2，s，t為正整數，故a^s-b能被a+1整除．由此入手能夠推導出存在b∈{1，2}，使得數列{x_n}和{y_n}有公共項．

解答：解：（1）由條件可得xn=3n，y_n=4n+5．
①令x₂=9=y_m=4m+5，得m=1，故x₂是數列{y_n}中的第1項．
令x₄=81=y_k=4k+5，得k=19，故x₄是數列{y_n}中的第19項．  …（2分）
②由題意知，cn=32n，由c_k為數列{y_n}中的第m項，則有3^2k=4m+5，
那么ck+1=32(k+1)=9×32k=9×(4m+5)=36m+45=4(9m+10)+5，
因9m+10∈N^*，所以c_k+1是數列{y_n}中的第9m+10項．           …（8分）
（2）設在{1，2}上存在實數b使得數列{x_n}和{y_n}有公共項，
即存在正整數s，t使a^s=（a+1）t+b，∴t=

as-b

a+1

，
因自然數a≥2，s，t為正整數，∴a^s-b能被a+1整除．
①當s=1時，t=

as-b

a+1

＜

a

a+1

∉N*．   ②當s=2n（n∈N^*）時，
當b=1時，

as-b

a+1

=

a2n-1

a+1

=-

1-a2n

1-(-a)

=-[1+(-a)+(-a)2+…+(-a)2n-1]=（a-1）[1+a²+a⁴…+a^2n-2]∈N^*，即a^s-b能被a+1整除．
此時數列{x_n}和{y_n}有公共項組成的數列{z_n}，通項公式為zn=22n（n∈N^*）．
顯然，當b=2時，

as-b

a+1

=

a2n-2

a+1

=

a2n-1

a+1

-

1

a+1

∉N*，即a^s-b不能被a+1整除．
③當s=2n+1（n∈N^*）時，t=

as-b

a+1

=

a(a2n- b a )

a+1

，
若a＞2，則a2n-

b

a

∉N*，又a與a+1互質，故此時t=

a(a2n- b a )

a+1

∉N*．
若a=2，要a2n-

b

a

∈N*，則要b=2，此時a2n-

b

a

=a2n-1，
由②知，a²ⁿ-1能被a+1整除，故t=

a(a2n- b a )

a+1

∈N*，即a^s-b能被a+1整除．
當且僅當b=a=2時，a^S-b能被a+1整除．
此時數列{x_n}和{y_n}有公共項組成的數列{z_n}，通項公式為zn=22n+1（n∈N^*）．
綜上所述，存在b∈{1，2}，使得數列{x_n}和{y_n}有公共項組成的數列{z_n}，
且當b=1時，數列zn=a2n（n∈N^*）；當b=a=2時，數列zn=22n+1（n∈N^*）．…（16分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合應用，綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．