Question

【題目】已知

（Ⅰ）列表求在的所有極值；

（Ⅱ）當時，

（i）求證：；

（ii）若恒成立，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（Ⅰ）列聯表見解析；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導函數，由導函數大于求其增區間，導函數小于求其減區間；

（Ⅱ）（i）構造輔助函數，把問題轉化為求時， ，

（ii）構造輔助函數，把問題轉化為求時，，然后對的值進行分類討論，求在不同取值范圍內時的的最小值，由最小值大于等于得到的取值范圍；

（Ⅰ）因為，所以 ，

，，的變化關系如下表：

	遞增	極大值	遞減		遞增

所以函數的極大值為，極小值為.

（Ⅱ）（i）令

，

令，則對恒成立，

在上是增函數，則，

恒成立，在上為增函數，

；

（ii）令

要使恒成立，只需當時，，

，

令，由（i）得，

①當時，恒成立，在上為增函數，

，滿足題意；

②當時，上有實根，在上是增函數，

則當時，，不符合題意；

③當時，恒成立，在上為減函數，

不符合題意，即．