Question

已知M＞-3，設(shè)命題p：曲線+=1表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：當(dāng)0＜x＜2時，函數(shù)f（x）=x+＞m恒成立．
（Ⅰ） 若“p∧q”為真命題，求m的取值范圍；
（Ⅱ） 若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

解：∵m＞-3，命題p：曲線+=1表示焦點在y軸上的橢圓，∴m+3＞2，解得m＞-1．
∵m＞-3，命題q：當(dāng)0＜x＜2時，函數(shù)f（x）=x+＞m恒成立．∴m＞-3，m＜[f（x）]_min．
∵，∴x∈（0，1）時，f^′（x）＜0；x∈（1，2）時，f^′（x）＞0．故在x=1處取得最小值，且f（1）=2，
∴-3＜m＜2．
（Ⅰ）∵“p∧q”為真命題，∴，解得-1＜m＜2，即為m的取值范圍．
（Ⅱ）∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，∴命題p與q必有一個為真，一個為假．
①若p真q假，則，解得m≥2，即為m的取值范圍．
②若p假q真，則，解得-3＜m≤-1，即為m的取值范圍．
分析：先化簡命題p、q，（Ⅰ）根據(jù)“p∧q”為真命題，則命題p、q皆為真命題，即可求出；
（Ⅱ）由“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，∴命題p與q必有一個為真，一個為假，據(jù)此即可求出．
點評：熟練掌握橢圓的性質(zhì)及不等式的恒成立問題的解法及“∧”“∨”命題的真假判斷是解題的關(guān)鍵．