Question

【題目】在直三棱柱中，為正三角形，點在棱上，且，點、分別為棱、的中點．

（1）證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，連接分別交、于點、，再連接，證明出，結合條件可得出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（2）取的中點，連接、，證明出平面，且，設等邊三角形的邊長為，并設，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，由得出的值，并計算出平面的法向量，利用空間向量法求出直線與平面所成的角的正弦值.

（1）如下圖所示，連接，連接分別交、于點、，再連接，

、分別為、的中點，則，，則為的中點，

在直三棱柱中，，則四邊形為平行四邊形，

，為的中點，，，

，，

平面，平面，平面；

（2）取的中點，連接、，

四邊形為平行四邊形，則，

、分別為、的中點，，所以，四邊形是平行四邊形，

，在直三棱柱中，平面，平面，

是等邊三角形，且點是的中點，，

以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

設的邊長為，，則點、、、、、、，，，

，則，得，

，，.

設平面的法向量為，由，得.

令，可得，，所以，平面的一個法向量為，

，

因此，直線與平面所成的角的正弦值為.