Question

(2007遼寧，21)已知數列、與函數f(x)、g(x)，xR滿足條件：，．

(1)若f(x)=tx＋1(t≠0，t≠2)，g(x)=2x，f(b)≠g(b)，且存在，求t的取值范圍，并求(用t表示)；

(2)若函數y=f(x)為R上的增函數，，b=1，f(1)＜1，證明對任意的，．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)解法一：由題設知得．又已知t≠2，可得． 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知， 所以是等比數列，其首項為， 公比為．于是， 即．又存在，可得 所以－2＜t＜2且t≠0．． 解法二：由題設知， 且t≠2，可得． 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知，，所以是首項為，公比為的等比數列． ， 即． 由可知，若存在，則存在． 于是可得所以－2＜t＜2且t≠0． ． 解法三：由題設知，即 ，　　　　　　　　　① ，　　　　　　　　② ②－①得， 令，得． 由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0可得，，所以是首項為，公比為的等比數列． 于是， ． 又存在，可得 所以－2＜t＜2且t≠0． ． 說明：數列通項公式的求法和結果的表達形式均不唯一，其他過程和結果參照以上評分標準． (2)證明：因為， 所以，即． 下面用數學歸納法證明． ①當n=1時，由f(x)為增函數， 且f(1)＜1，得， ，， 即，結論成立． ②假設n=k時結論成立，即． 由f(x)為增函數，得，即， 進而得，即． 這就是說當n=k＋1時，結論也成立． 根據①和②可知，對任意的，．

提示：

剖析：本題主要考查數列的定義、數列的遞推公式、等比數列、函數、不等式等基礎知識，考查運用數學歸納法解決問題的能力．