Question

已知各項均為正數的等比數列{an}滿足：a7=a6+2a5，若

am•an

=2a1，則

1

m

+

9

n

的最小值為______．

Answer 1

設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
∵a₇=a₆+2a₅，則a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）
若

aman

=2a1，即 a1

2m+n-2

=2a1，
則m+n=4，
則4（

1

m

+

9

n

）=（m+n）（

1

m

+

9

n

）=10+（

n

m

+

9m

n

）≥10+6=16
則

1

m

+

9

n

≥4，
當

n

m

=

9m

n

時，即m=1，n=3時，等號成立，即最小值為4
故答案為 4