Question

（2012•咸陽三模）已知向量

p

=(cosA，sinA)，

q

=(-cosB，sinB)，若A，B，C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，，則

p

與

q

的夾角為（　　）

A．銳角

B．直角

C．鈍角

D．以上都不對

Answer 1

分析：由兩向量的坐標(biāo)表示出兩向量的數(shù)量積，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式編寫，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則表示出兩向量的數(shù)量積，得到兩向量夾角的余弦值等于-cos（A+B），由A和B為銳角，得到A+B為鈍角，即cos（A+B）的值小于0，進(jìn)而得到-cos（A+B）大于0，即夾角的余弦值大于0，即可得到兩向量的夾角為銳角．

解答：解：設(shè)

p

與

q

的夾角為α，
∵向量

p

=(cosA，sinA)，

q

=(-cosB，sinB)，
∴

p

•

q

=-cosAcosB+sinAsinB
=-cos（A+B），
而

p

•

q

=|

p

|•|

q

|•cosα
=

cos2A+sin2A

•

cos2(-B)+sin2B

•cosα=cosα，
又A和B為銳角△ABC的內(nèi)角，
∴A+B為鈍角，即cos（A+B）＜0，
∴cosα=-cos（A+B）=cosC＞0，
則

p

與

q

的夾角為銳角．
故選A

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算法則，誘導(dǎo)公式，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．