Question

已知開口向上的二次函數f（x），對任意x∈R，恒有f（2-x）=f（2+x）成立，設向量a=（|x+2|+|2x-1|，1），b=（1，2）．求不等式f（a•b）＜f（5）的解集．

Answer 1

分析：由已知中二次函數f（x）對任意x∈R，恒有f（2-x）=f（2+x）成立，可得函數圖象的對稱軸為直線x=2，又由函數圖象的開口方向向上，故不等式f（

a

•

b

）＜f（5）可以轉化為-1＜

a

•

b

＜5，根據向量數量公式，我們可以構造出關于x的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：由題意知f（x）在[2，+∞）上是增函數，…（1分）
∵

a

•

b

=|x+2|+|2x-1|+2≥2…（2分）
∴f（

a

•

b

）＜f（5）?a•b＜5?|x+2|+|2x-1|＜3（*）   …（3分）
當x≤-2時，不等式（*）可化為-（x+2）-（2x-1）＜3，
∴x＞-

4

3

，…（5分）
此時x無解；…（6分）
當-2＜x＜

1

2

時，不等式（*）可化為x+2-（2x-1）＜3，
∴x＞0，…（8分）
此時0＜x＜

1

2

；…（9分）
當x≥

1

2

時，不等式（*）可化為x+2+2x-1＜3，
∴x＜

2

3

，…（11分）
此時

1

2

≤x＜

2

3

．…（12分）
綜上可知：不等式f（a•b）＜f（5）的解集為(0，

2

3

)．…（13分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，絕對值不等式的解法，平面向量的數量積運算，其中根據已知條件分析出二次函數的圖象及性質，并將不等式f（

a

•

b

）＜f（5）可以轉化為-1＜

a

•

b

＜5，是解答本題的關鍵．