Question

設(shè)是函數(shù)的一個極值點。

（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；

①當時，單增區(qū)間為：；單減區(qū)間為：、；

②當時，單增區(qū)間為：；單減區(qū)間為：、；

（2）的取值范圍為。

【解析】

試題分析：（1）∵ ∴

      2分

由題意得：，即，    3分

∴且

令得，

∵是函數(shù)的一個極值點

∴，即

故與的關(guān)系式  5分

①當時，，由得單增區(qū)間為：；

由得單減區(qū)間為：、；

②當時，，由得單增區(qū)間為：；

由得單減區(qū)間為：、；    8分

（2）由（1）知：當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

∴在上的值域為   10分

易知在上是增函數(shù)

∴在上的值域為  12分

由于，

又∵要存在，使得成立，

∴必須且只須解得： 

所以：的取值范圍為    14分

考點：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，確定參數(shù)的范圍。

點評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數(shù)的最值達到解題目的。證明不等式問題，往往通過構(gòu)造新函數(shù)，研究其單調(diào)性及最值，而達到目的。