Question

若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,求二面角APBC的余弦值.

Answer 1

解法一:如圖所示,取PB的中點D,連結CD.∵PC=BC=,

∴CD⊥PB.

∴作 AE⊥PB于E,那么二面角APBC的大小就等于異面直線DC與EA所成的角θ的大小.

∵PD=1,PE=,

∴DE=PD-PE=.

又∵AE=CD=1,AC=1,

∴cos(π-θ),

即1=+1-2··1·cosθ,

解得cosθ=.

故二面角APBC的余弦值為.

解法二:由解法一可知,向量的夾角的大小就是二面角APBC的大小,如上圖,建立空間直角坐標系C—xyz,則A(1,0,0),B(0,,0),C(0,0,0),P(1,0,1),D為PB的中點,D().

∴,即E分的比為.

∴E(),

∴

故二面角APBC的余弦值為.

解法三:如圖所示建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), =(0,0,1), =(,1,0),=(2,0,0),=(0,-1,1),

設平面PAB的法向量為m=(x,y,z),則

令x=1,則m=(1,-,0).

設平面PBC的法向量為n=(x′,y′,z′),則

令y′=-1,則n=(0,-1,-1),

∴cos〈m,n〉=

∴二面角APBC的余弦值為.

綠色通道：

(1)求二面角的大小,可以在兩個半平面內作出垂直于棱的兩個向量,轉化為這兩向量的夾角,但應注意兩向量的始點應在二面角的棱上.

(2)當空間直角坐標系容易建立(有特殊的位置關系)時,用向量法解較為簡捷、明快.用法向量求二面角的大小時,有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小(相等或互補),但我們完全可以根據圖形觀察得到結論,這是因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的.