Question

【題目】已知函數f（x）=log2（x+a）．

（Ⅰ）當a=1時，若f（x）+f（x-1）＞0成立，求x的取值范圍；

（Ⅱ）若定義在R上奇函數g（x）滿足g（x+2）=-g（x），且當0≤x≤1時，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的解析式，并寫出g（x）在[-3，3]上的單調區間（不必證明）；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的g（x），若關于x的不等式g（）≥g（-）在R上恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）見解析；（III）.

【解析】

（Ⅰ）當時，可化為，解不等式組可得答案

（II）根據已知可得，在結合條件求得的解析式，進而分析出在上的單調區間

（III）關于的不等式在上恒成立，即，分類討論后，綜合討論結果，可得答案

解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=log2（x+1）．

∴f（x-1）=log2x，

∴f（x）+f（x-1）=log2（x+1）+log2x=log2[x（x+1）]，

若f（x）+f（x-1）＞0，則，

解得：x∈（，+∞），

即x的取值范圍為（，+∞）；

（Ⅱ）∵函數g（x）是定義在R上奇函數，

故g（0）=0，

又∵當0≤x≤1時，g（x）=f（x）=log2（x+a）．

故a=1，

當x∈[-2，-1]時，x+2∈[0，1]，

∴g（x）=-g（x+2）=-log2（x+3）．

當x∈[-3，-2]時，x+2∈[-1，0]，-（x+2）∈[0，1]，

∴g（x）=-g（x+2）=g[-（x+2）]=log2[-（x+2）+1]=log2（-x-1）．

故g（x）=，

g（x）在[-3，-1]和[1，3]上遞減，在[-1，1]上遞增；

（III）記u==-+，

當t+1≥0時，u∈（-，-+）=（-，），

由g（）≥g（-）在R上恒成立可得：（-，）[，]，

解得：t∈[-1，20]．

當t+1＜0時，u∈（-+，-）=（，-），

由g（）≥g（-）在R上恒成立可得：（，-）[.]，

解得：t∈[-4，-1）．

綜上所述實數t的取值范圍為[-4，20]．