Question

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某公司每月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(tái)（x∈N^*）的收入函數(shù)為R（x）=3000x-20x²（單位：元），其成本函數(shù)為C（x）=500x+4000（單位：元），利潤(rùn)是收入與成本之差．
（1）求利潤(rùn)函數(shù)P（x）及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）；
（2）利潤(rùn)函數(shù)P（x）與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？

Answer 1

分析：本題是二次函數(shù)模型   解題策略：構(gòu)造二次函數(shù)模型，函數(shù)解析式求解是關(guān)鍵，然后利用配方法、數(shù)形結(jié)合法等方法求解二次函數(shù)最值，但要注意自變量的實(shí)際取值范圍．

解答：解：由題意知，x∈[1，100]，且x∈N^*
P（x）=R（x）-C（x）
=3000x-20x²-（500x+4000）
=-20x²+2500x-4000，
MP（x）=P（x+1）-P（x）
=-20（x+1）²+2500（x+1）-4000-
[-20x²+2500x-4000]
=2480-40x，
（2）P(x)=-20(x-

125

2

)2+74125，當(dāng)x=62或x=63時(shí)
P（x）的最大值為74120（元）
∵M(jìn)P（x）=2480-40x是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，MP（x）的最大值為2440（元）
∴P（x）與MP（x）沒(méi)有相同的最大值

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解決應(yīng)用題需要實(shí)際問(wèn)題變量的范圍．