Question

定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數f（x）在（0，+∞）上是減函數，且在x＞0時，f（x）的圖象如圖所示，則不等式x[f（x）-f（-x）]＞0的解集為（　　）

• A、（-∞，-2）∪（0，2）
• B、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• C、（-2，0）∪（2，+∞）
• D、（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：由函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（2）=0，則f（-2）=0，由于f（x）在（0，+∞）上是減函數，所以f（x）在（-∞，0）上是減函數，從而可得不等式組，故可得答案．

解答：解：由于函數為奇函數，所以不等式可化為xf（x）＞0，∴

x＞0 f(x)＞0

或

x＜0 f(x)＜0

∵f（x）在（0，+∞）上是減函數，∴f（x）在（-∞，0）上是減函數
∵f（2）=0，∴f（-2）=0
∴

x＞0 f(x)＞f(2)

或

x＜0 f(x)＜f(-2)

∴x∈（-2，0）∪（0，2）
故選D．

點評：解答本題的關鍵是根據已知條件，結合奇函數的性質，找出函數的零點，并以零點為端點將定義域分為幾個不同的區間，然后在每個區間上結合函數的單調性進行討論，這是分類討論思想在解決問題的巨大作用的最好體現，分類討論思想往往能將一個復雜的問題的簡單化，是高中階段必須要掌握的一種方法．