Question

某種商品的生產成本為50元/件，出廠價為60元/件．廠家為了鼓勵銷售商多訂購，決定當一次性訂購超過100件時，每多訂購一件，所訂購全部商品的出廠價就降低0.01元．根據市場調查，銷售商一次訂購不會超過600件．
（1）設銷售商一次訂購x件商品時的出廠價為f（x），請寫出f（x）的表達式；
（2）當銷售商一次訂購多少件商品時，廠家獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）當0＜x≤100時，f（x）=60；
當100＜x≤600時，f（x）=60-（x-100）×0.01=61-0.01x．
∴
（2）設利潤為y元，則0＜x≤100時，y=60x-50x=10x
此時，=100時，y_max=1000元．
當100＜x≤600時，y=（61-0.01x）•x-50x=11x-0.01x²
=-0.01（x-550）²+3025
顯然3025＞1000，故當一次定購550件時，
廠家的利潤最大，最大利潤為3025元．
分析：（1）欲求出函數f（x）的表達式，先對x分類討論：當0＜x≤100時，當100＜x≤600時，再分別求出在不同的情況下的出廠價即得；
（2）先設利潤為y元，分別求出0＜x≤100時，和當100＜x≤600時，利潤y的最大值，最后綜合兩個最大值即得廠家的最大利潤值．
點評：本題考查了分段函數、函數模型的選擇與應用、求二次函數的最值，屬于基礎題．求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．