Question

已知函數f（x）=alnx+．
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）當a＞0時，若對任意x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求實數a的取值范圍；
（3）若a＜0，對任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，試比較f（）與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間以及極值．
（2）將變量a分離出來，轉化成使對任意x＞0，只須2a≤f（x）_min，研究f（x）的最小值即可．
（3）利用作差法比較兩個數的大小，f（）-化簡整理后判定其符號．
解答：解：由題意x＞0，f′（x）=
（1）當a＞0時，由f′（x）＞0得，解得，
即函數f（x）的單調增區間是；
由f′（x）＜0得＜0，解得，
即函數f（x）的單調減區間是
∴當x=時，函數f（x）有極小值，
極小值為f（）=
（2）當a＞0時，∵對任意x＞0，
均有ax（2-lnx）≤1，即有對任意x＞0，恒成立，
∴對任意x＞0，只須2a≤f（x）_min
由（1）可知，函f（x）的極小值，即為最小值，
∴2a≤f（x）_min=a-alna，，解得
即a的取值范圍為
（3）
∵x₁＞0，x₂＞0且x₁≠x₂，a＜0，
∴x₁+x₂＞2，∴＞1，aln＜0
又，
∴aln+，
∴f（）-＜0，即f（）＜．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性，屬于難題．