Question

已知點P是⊙O：x²+y²=9上的任意一點，過P作PD垂直x軸于D，動點Q滿足

DQ

=

2

3

DP

．
（1）求動點Q的軌跡方程；
（2）已知點E（1，1），在動點Q的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點M、N，使

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)（O是坐標(biāo)原點），若存在，求出直線MN的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)Q（x，y），利用向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合在⊙O上即可得到點Q的軌跡方程；
（2）對于存在性問題的解決方法，可假設(shè)存在．由向量關(guān)系式得E（1，1）是線段MN的中點，利用中點坐標(biāo)公式及橢圓的方程式，得到直線MN的斜率值，從而求得直線的方程．結(jié)果表明存在．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x，y），依題意，則點D的坐標(biāo)為D（x₀，0）（1分）
∴

DQ

=(x-x0，y)，

DP

=(0，y0)（2分）
又

DQ

=

2

3

DP

∴

x-x0=0 y= 2 3 y0

即

x0=x y0= 3 2 y

（4分）
∵P在⊙O上，故x₀²+y₀²=9∴

x2

9

+

y2

4

=1（5分）
∴點Q的軌跡方程為

x2

9

+

y2

4

=1（6分）
（2）假設(shè)橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上存在兩個不重合的兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）滿足

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)，則E（1，1）是線段MN的中點，且有

x1+x2 2 =1 y1+y2 2 =1

即

x1+x2=2 y1+y2=2

又M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上
∴

x12 9 + y12 4 =1 x22 9 + y22 4 =1

兩式相減，得

(x1-x2)(x1+x2)

9

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0（12分）
∴kMN=

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

∴直線MN的方程為4x+9y-13=0
將直線MN的方程代入橢圓方程檢驗得：52x²-104x-155=0則△＞0有實根
∴橢圓上存在點M、N滿足

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)，此時直線MN的方程為4x+9y-13=0（14分）

點評：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的坐標(biāo)運算、曲線方程的求法、橢圓的定義以及等價轉(zhuǎn)化能力．