Question

對任意實數x，若不等式|x+1|+|x-2|＞k恒成立，則k的取值范圍是（ ）
A．k＜1
B．k＜-3
C．k＞1
D．k＞3

Answer 1

【答案】分析：首先分析題目已知不等式|x+1|+|x-2|＞k恒成立，求k的取值范圍，即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．對于求|x+1|+|x-2|的最小值，可以分析它幾何意義：在數軸上點x到點-1的距離加上點x到點2的距離．分析得當x在-1和2之間的時候，取最小值，即可得到答案．
解答：解：已知不等式|x+1|+|x-2|＞k恒成立，即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．
故設函數y=|x+1|+|x-2|． 設-1、2、x在數軸上所對應的點分別是A、B、P．
則函數y=|x+1|+|x-2|的含義是P到A的距離與P到B的距離的和．
可以分析到當P在A和B的中間的時候，距離和為線段AB的長度，此時最小．
即：y=|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x-2|的最小值為3．
即：k＞3．
故選擇D．
點評：此題主要考查不等式恒成立的問題，其中涉及到絕對值不等式求最值的問題，對于y=|x-a|+|x-b|類型的函數可以用分析幾何意義的方法求最值．