Question

（2012•福建）（1）選修4-2：矩陣與變換
設曲線2x²+2xy+y²=1在矩陣A=

a 0 b 1

（a＞0）對應的變換作用下得到的曲線為x²+y²=1．
（Ⅰ）求實數a，b的值．
（Ⅱ）求A²的逆矩陣．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定點在矩陣A=

a 0 b 1

（a＞0）對應的變換作用下得到點坐標之間的關系，利用變換前后的方程，即可求得矩陣A；
（Ⅱ）先計算A²的值，求出行列式的值，即可得到A²的逆矩陣．

解答：解：（Ⅰ）設曲線2x²+2xy+y²=1上的點（x，y）在矩陣A=（

a 0 b 1

）（a＞0）對應的變換作用下得到點（x′，y′）
則（

a 0 b 1

）

x y

=

x′ y′

，∴

x′=ax y′=bx+y

∵x′²+y′²=1
∴（ax）²+（bx+y）²=1
∴（a²+b²）x²+2bxy+y²=1
∵2x²+2xy+y²=1
∴a²+b²=2，2b=2
∴a=1，b=1
∴A=（

1 0 1 1

）
（Ⅱ）A²=（

1 0 1 1

）（

1 0 1 1

）=（

1 0 2 1

），

.

1 0 2 1

.

=1
∴A²的逆矩陣為

1 0 -2 1

點評：本題考查矩陣與變換，考查逆矩陣的求法，確定變換前后坐標之間的關系是解題的關鍵．