Question

已知函數f（x）=sinx+cosx，且f′（x）=2f（x），f′（x）是f（x）的導函數，則

1+sin2x

cos2x-sin2x

=

11

15

．

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，然后由f′（x）=2f（x），求出sinx與cosx的關系，同時求出sin²x的值，化簡要求解的分式，最后把sin²x的值代入即可．

解答：解：因為函數f（x）=sinx+cosx，所以f^′（x）=cosx-sinx，
由f′（x）=2f（x），得：cosx-sinx=2sinx+2cosx，即cosx=-3sinx，
所以

1+sin2x

cos2x-sin2x

=

1+sin2x

1-sin2x-2sinx•cosx

=

1+sin2x

1-sin2x-2sinx(-3sinx)

=

1+sin2x

1+5sin2x

①．
由cosx=-3sinx，得：cos²x=9sin²x，代入sin²x+cos²x=1，得：sin2x=

1

10

②．
把②代入①得：

1+sin2x

1+5sin2x

=

11

15

．
所以，則

1+sin2x

cos2x-sin2x

=

11

15

．
故答案為

11

15

．

點評：本題考查了導數的運算，考查了同角三角函數的基本關系式，考查了學生的運算能力，解答的關鍵是化為同角同名的三角函數求解，此題是基礎題．