Question

設n∈N^*，（2x+1）ⁿ的展開式各項系數之和為a_n，（3x+1）ⁿ展開式的二項式系數之和為b_n，則

lim

n→+∞

2an+3bn

an+1bn+1

=

2

3

．

Answer 1

分析：令x=1可得a_n=3ⁿ再利用二項式定理的性質可得b_n=2ⁿ然后代入

lim

n→∞

2an+3bn

an+1bn+1

再分子分母同時除以3ⁿ再利用極限的四則運算即可得解．

解答：解：令x=1由二項式定理可得a_n=3ⁿ，（3x+1）ⁿ展開式的二項式系數之和b_n=2ⁿ
∴

lim

n→∞

2an+3bn

an+1bn+1

=

lim

n→∞

2•3n+3•2n

3n+1+2n+1

=

lim

n→∞

2+3•( 2 3 )n

3+2•( 2 3 )n

=

2+3 lim n→∞ ( 2 3 )n

3+2 lim n→∞ ( 2 3 )n

=

2

3

故答案為

2

3

點評：本題主要考查了利用二項式定理的性質求極限．解題的關鍵是要分清楚各項系數和和二項式系數和然后代入極限式中再利用極限的有關知識求解．