Question

設曲線C是動點P到定點F（2，0）的距離和到定直線x=

1

2

的距離之比為2的軌跡．   
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）已知存在直線l經過點M（1，m）（m∈R），交曲線C于E，F兩點，使得M為EF的中點．
（i）求m的取值范圍； 
（ii）求|EF|的最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設點P的坐標為P（x，y），則由題設知

(x-2)2+y2

|x- 1 2 |

=2，化簡即可得出．
（II）設直線l的方程為y=k（x-1）+m，
（i）與雙曲線方程聯立可得（3-k²）x²+2k（k-m）x-（k-m）²-3=0，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），利用根與系數的關系與中點坐標公式可得

x1+x2

2

=1，化為km=3．
由△＞0即可解得k的取值范圍．
（ii）利用弦長公式與基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（I）設點P的坐標為P（x，y），則由題設知

(x-2)2+y2

|x- 1 2 |

=2，
化簡得x2-

y2

3

=1即為曲線C的方程．
（II）由題設知，設直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-1）+m，
（i）聯立

y=k(x-1)+m 3x2-y2=3

，化為（3-k²）x²+2k（k-m）x-（k-m）²-3=0，①
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），故有3-k²≠0，
∴x1+x2=

2k(m-k)

3-k2

，x₁x₂=

-(k-m)2-3

3-k2

．
又M為EF的點，∴

x1+x2

2

=1，化為km=3．
此時方程①可化為x2-2x+1-

m2

3-k2

=0，
由△＞0解得

m2

3-k2

＞0，∴k²＜3，從而m²＞3．
即m∈(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)．
（ii）∵|EF|²=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[4+

4(k2+m2-3)

3-k2

]
=

4(1+k2)m2

3-k2

=

4(m2+9)m2

3(m2-3)

．
令t=m²-3（t＞0），則|EF|²=

4

3

(t+

36

t

+15)≥36，
當t=6，即m=±3時，|EF|_min=6．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題轉化為方程聯立可得△＞0及其根與系數的關系、中點坐標公式、弦長公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．