Question

橢圓x²+4y²=16的離心率等于

 

，與該橢圓有共同焦點，且一條漸近線是x+

3

y=0的雙曲線方程是

 

．

Answer 1

分析：橢圓x²+4y²=16的標準方程是

x2

16

+

y2

4

=1，由此能夠求出它的離心率．由雙曲線的一條漸近線方程是x+

3

y=0，可設雙曲線的方程為

x2

λ

-

y2

λ 3

=1（λ＞0），再由雙曲線的焦點坐標是（±2

3

，0），能夠求出λ的值，從而推導出雙曲線方程．

解答：解：橢圓x²+4y²=16的標準方程是

x2

16

+

y2

4

=1，其中a=4，b=2，c=2

3

，e=

c

a

=

3

2

∵雙曲線的一條漸近線方程是x+

3

y=0，
∴可設雙曲線的方程為

x2

λ

-

y2

λ 3

=1（λ＞0）
∵橢圓焦點的坐標是（±2

3

，0）
∴雙曲線的焦點坐標是（±2

3

，0）
∴λ+

λ

3

=12，λ=9，即雙曲線的方程是

x2

9

-

y2

3

=1．
答案：

3

2

，

x2

9

-

y2

3

=1

點評：本題考查雙曲線和橢圓的基本性質，難度不大，解題時注意不要弄混了雙曲線和橢圓的性質．