Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是底面邊長為1的正四棱柱，高AA₁=2，求
（1）異面直線BD 與AB₁ 所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）四面體AB₁D₁C 的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意知DC₁∥AB₁∴∠BDC₁就是異面直線BD 與AB₁ 所成角，解三角形即可求得結(jié)果．
（2）V_A-B1D1C=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1，
而V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1易求，即可求得四面體AB₁D₁C 的體積．
解答：解：（1）連接DC₁，BC₁，
易知DC₁∥AB₁，
∴∠BDC₁就是異面直線BD 與AB₁ 所成角，
在△BDC₁中，DC₁=BC₁=，BD=，
∴cos∠BDC₁=，
∴∠BDC₁=aeccos．

（2）V_A-B1D1C=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1
而V_{ABCD-A1B1C1D1}=s_ABCD•AA₁=1×2=2，
V_B1-ABC=V_D1-ACD=V_DA1C1D1=V_B-A1B1C1=
∴V_A-B1D1C═2-4×=．
點(diǎn)評：此題是個基礎(chǔ)題．考查異面直線所成角和棱錐的體積問題，求解方法一般是平移法，轉(zhuǎn)化為平面角問題來解決，和利用割補(bǔ)法求棱錐的體積問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想．