Question

(理)設數列{a_n}滿足條件：a₁=a(a＞2)，且a_n+1=(n∈N^*)．

(1)證明：a_n＞2；

(2)證明：a₁+a₂+…+a_n＜2(n+a-2)；

(3)若x_n=，求數列{x_n}的通項公式

(文)已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=，且a_n+b_n=1，b_n+1=(n∈N^*)．

(1)求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；

(2)設S_n=a₁+a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1．若對任意的n∈N^*，不等式kS_n＞b_n恒成立，求正整數k的最小值．

Answer 1

答案：(理)(1)①當n=1時，∵a₁=a＞2，∴命題a_n＞2成立

②假設n=k時命題成立，那么有a_k＞2成立．

當n=k+1時，

∵a_k+1-2=＞0，∴a_k+1＞2

即當n=k+1時命題成立．

綜上所述，當n∈N^*時，a_n＞2成立．

(2)∵a_n+1=，∴a_n=(n≥2)

又∵a_n-2=

∴a_n-2＜(n≥2)．

∴(a₁-2)+(a₂-2)+…+(a_n-2)

≤(a-2)(1+)

=(a-2)

=2(a-2)(1)＜2(a-2),

∴a₁+a₂+…+a_n＜2(n+a-2)．

(3)解法一：∵a_n+1=,

∴,

即,

∵x_n=，∴x_n+1=2(x_n)

即x_n=2(x_n-1)(n≥2)

∴-x_n=2(-x_n-1+)=2(-x_n-1)²

∵-x_n=2(-x_n-1)²=2[2(-x_n-2)²]²

=2¹⁺²

=…=

=，

∴x_n=

解法二：∵()²=(-x_n+1)

設b_n=-x_n，則b₁=，b_n＞0，b_n+1=2，

∴lgb_n+1=lg2+2lgb_n，

∴lgb_n+1+lg2=2(1gb_n+lg2)，即lg2b_n+1=2lg2b_n

∴{lg2b_n}是等比數列，公比q=2，

lg2b₁=lg(1)，

lg2b_n=2^n-1lg(1)=lg(1)

∴2b_n=，即1-2x_n=，

∴x_n=.

(文)(1)由a_n+b_n=1(n∈N^*)知b_n=1-a_n，b_n+1=1-a_n+1，

∴1-a_n+1=

a_n-a_n+1=a_n·a_n+1，=1，

∴數列是以=4為首項、以1為公差的等差數列．

∴=4+n-1=n+3，∴a_n=(n∈N^*)．

b_n=1-a_n=1(n∈N^*)．

(2)S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1

=

=.

對任意n∈N^*，不等式kS_n＞b_n恒成立

∴即恒成立

令f(n)=,

則f(1)=，f(2)=，

又當n≥3時，n²＞8，從而n²+3n＞3n+8．

即＜1，∴f(n)＜2．

可見對任意n∈N^*，f(n)的最大值為，故，

∴k的最小值為16．