Question

已知圓M的參數方程為x²+y²-4Rxcosα-4Rysinα+3R²=0（R＞0）．
（1）求該圓的圓心的坐標以及圓M的半徑．
（2）若題中條件R為定值，則當α變化時，圓M都相切于一個定圓，試寫出此圓的極坐標方程．

Answer 1

分析：（1）已知圓M的參數方程為x²+y²-4Rxcosα-4Rysinα+3R²=0，對其進行配方化為圓的一般形式，從而求解．
（2）當α變化時，因

(2Rcosα)2+(2Rsinα)2

=2R=3R-R，討論內切還是外切，從而求解．

解答：解：（1）依題意得圓M的方程為（x-2Rcosα）²+（y-2Rsinα）²=R²，
故圓心的坐標為M（2Rcosα，2Rsinα）半徑為R．
（2）當α變化時，因

(2Rcosα)2+(2Rsinα)2

=2R=3R-R，
所以所有的圓M都和定圓x²+y²=9R²內切，此圓極坐標方程為p=3R；
又因

(2Rcosα)2+(2Rsinα)2

=2R=R+R，所以所有的圓M都和定圓x²+y²=R²外切，
此圓極坐標方程為p=R；

點評：此題考查參數方程與普通方程的區別和聯系，兩者要會互相轉化，根據實際情況選擇不同的方程進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題．